求所有 $a,b$，使 $\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2$ 成立，其中 $x\in [0,1]$．
【难度】
【出处】
2015年华中科技大学理科实验选拔试题
【标注】
【答案】
$(a,b)=\left(-1,\dfrac{\sqrt 2+1}2\right)$
【解析】
三角换元，$x=\cos\theta$，其中 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则原式变形为\[\left|\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2,\]注意到代数式 $\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)$ 的值域区间长度不能超过 $\sqrt 2-1$，于是 $a=-1$，进而 $b=\dfrac{\sqrt 2+1}2$．
答案
解析
备注
