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在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A\left({- 1,0}\right),B\left({0,\sqrt 3}\right),C\left({3,0}\right)$，动点 $D$ 满足 $\left|{\overrightarrow{CD}}\right| = 1$，则 $\left|{\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OD}}\right|$ 的值可能是 \((\qquad)\)
A: $\sqrt 7-1$
B: $\sqrt 7+1$
C: $3$
D: $4$
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
【答案】
ABC
【解析】
将 $\overrightarrow{OD}$ 拆分为两个有相关描述的向量 $\overrightarrow{OC}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 之和：\[\begin{split} \left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right|&=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}\right|\\
&=\left|(2,\sqrt 3)+\overrightarrow{CD}\right|\\
&\leqslant \left|(2,\sqrt 3)\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt 7+1,\end{split}\]等号当且仅当 $\overrightarrow{CD}$ 与向量 $(2,\sqrt 3)$ 同向时取得．
因此所求的最大值为 $\sqrt 7+1$．
题目 答案 解析 备注
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