已知函数 $f(x)=ax-{\rm e}^x$，若存在实数 $x$，使得 $f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=a-{\rm e}^x,$$于是需要按 $a$ 进行讨论．
当 $a<0$ 时，$f(x)$ 单调递减．考虑到 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，而当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$．于是符合题意；
当 $a=0$ 时，$f(x)$ 单调递减．考虑到 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to 0-$，而当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$．于是不符合题意；
当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 有极大值，同时也是最大值，为 $f\left(\ln a\right)=a\left(\ln a-1\right)$，根据题意，最大值不小于 $0$，于是可以解得 $a\geqslant {\rm e}$．
综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．
当 $a<0$ 时，$f(x)$ 单调递减．考虑到 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，而当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$．于是符合题意；当 $a=0$ 时，$f(x)$ 单调递减．考虑到 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to 0-$，而当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$．于是不符合题意；
当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 有极大值，同时也是最大值，为 $f\left(\ln a\right)=a\left(\ln a-1\right)$，根据题意，最大值不小于 $0$，于是可以解得 $a\geqslant {\rm e}$．
综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．
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