已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + ax + 1\left( {a \in {\mathbb{R}}} \right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（文）
【标注】
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求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案当 $a<1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty ,-1-\sqrt{1-a})$ 和 $(-1+\sqrt{1-a},+\infty )$，单调递减区间是 $(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a})$．
当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在定义域 ${\mathbb R}$ 上单调递增解析根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=x^2+2x+a,$$其判别式为 $\Delta=4(1-a)$，因此按 $a$ 与 $1$ 的大小关系展开讨论．情形一 当 $a<1$ 时，$f'(x)$ 有两个不同零点，于是 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty ,-1-\sqrt{1-a})$ 和 $(-1+\sqrt{1-a},+\infty )$；$f(x)$ 的单调递减区间是 $(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a})$．情形二 当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在定义域 ${\mathbb R}$ 上单调递增． -
当 $a < 0$ 时，试讨论是否存在 ${x_0} \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2},1} \right)$，使得 $f\left( x_0 \right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right)$．标注答案当 $-\dfrac{25}{12}<a<-\dfrac{7}{12}$ 且 $a\neq-\dfrac 54$ 时，存在符合题意的 $x_0$解析方程 $f(x_0)=f\left(\dfrac 12\right)$ 即$$\dfrac 13x_0^3+x_0^2+ax_0+1=\dfrac 13\left(\dfrac 12\right)^3+\left(\dfrac 12\right)^2+a\cdot\dfrac 12+1,$$移项并应用立方差公式及平方差公式得$$\left[\dfrac 13\left(x_0^2+\dfrac 12x_0+\dfrac 14\right)+x_0+\dfrac 12+a\right]\cdot\left(x_0-\dfrac 12\right)=0,$$即$$\left[\left(x_0+\dfrac 74\right)^2+3a-\dfrac{21}{16}\right]\cdot\left(x_0-\dfrac 12\right)=0,$$由于 $x_0\neq\dfrac 12$，因此问题转化为方程$$\left(x+\dfrac 74\right)^2=-3a+\dfrac{21}{16}$$是否在区间 $(0,1)$ 上有不等于 $\dfrac 12$ 的解．
将上述方程的解看作函数 $g(x)=\left(x+\dfrac 74\right)^2$ 的图象与直线 $y=-3a+\dfrac{21}{16}$ 的公共点的横坐标，注意到函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递增，因此易得当 $g(0)<-3a+\dfrac{21}{16}<g(1)$ 且 $-3a+\dfrac{21}{16}\neq g\left(\dfrac 12\right)$ 时，存在符合题意的 $x_0$．
不难解得当 $-\dfrac{25}{12}<a<-\dfrac{7}{12}$ 且 $a\neq-\dfrac 54$ 时，存在符合题意的 $x_0$．而当 $a$ 取其他负实数时，不存在符合题意的 $x_0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
