已知扇形 $OAB$ 中，$\angle AOB$ 为直角，圆 $C$ 与 $OA,OB$ 及圆 $O$ 相切，圆 $D$ 与 $OA$，圆 $O$，圆 $C$ 相切．作 $DE\perp OC$，垂足为 $E$．求证：$\triangle ODE$ 的三边成等差数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设圆 $C$ 的半径为 $1$，则 $OC=\sqrt 2$，$OA=\sqrt 2+1$．设圆 $D$ 的半径为 $r$，则\[
r=\sqrt 2+1-DO=DC-1,
\]于是 $DO+DC=\sqrt 2+2$，因此 $D$ 在以 $O,C$ 为焦点，$\sqrt 2+2$ 为长轴长的椭圆上．设 $\angle DOC=\theta$，根据椭圆的极坐标方程，有\[
OD=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt 2+2}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2}{\dfrac{\sqrt 2+2}2-\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \cos\theta}=\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}.
\]因此有\[
r=OD\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}4-\theta\right)=\sqrt 2+1-OD,
\]即\[
\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\left(\cos\theta-\sin\theta\right)=\sqrt 2+1-\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta},
\]整理可得\[
2\cos\theta-\sin\theta=1,
\]于是 $\sin\theta=\dfrac 35$，因此原命题得证．
r=\sqrt 2+1-DO=DC-1,
\]于是 $DO+DC=\sqrt 2+2$，因此 $D$ 在以 $O,C$ 为焦点，$\sqrt 2+2$ 为长轴长的椭圆上．设 $\angle DOC=\theta$，根据椭圆的极坐标方程，有\[
OD=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt 2+2}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2}{\dfrac{\sqrt 2+2}2-\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \cos\theta}=\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}.
\]因此有\[
r=OD\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}4-\theta\right)=\sqrt 2+1-OD,
\]即\[
\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\left(\cos\theta-\sin\theta\right)=\sqrt 2+1-\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta},
\]整理可得\[
2\cos\theta-\sin\theta=1,
\]于是 $\sin\theta=\dfrac 35$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
