求证：$2{\rm e}^x>x^3+x^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑证明函数 $\varphi(x)={\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3+x^2\right)$ 满足 $\varphi(x)<2$．函数 $\varphi(x)$ 的导函数$$\varphi'(x)={\rm e}^{-x}\cdot (-x)\cdot \left[x-\left(1+\sqrt 3\right)\right]\cdot \left[x-\left(1-\sqrt 3\right)\right],$$于是只需要证明$$\varphi\left(1+\sqrt 3\right)<2,\varphi\left(1-\sqrt 3\right)<2,$$即$$\dfrac{14+8\sqrt 3}{{\rm e}^{1+\sqrt 3}}<2,\left(14-8\sqrt3\right)\cdot {\rm e}^{\sqrt 3-1}<2,$$后者显然，而对于前者，我们有$${\rm e}^{1+\sqrt 3}>7+4\sqrt 3\Leftarrow \ln\left(7+4\sqrt 3\right)<\sqrt 3+1,$$而$$\ln \left(7+4\sqrt 3\right)<\ln\left(2{\rm e}^2\right)=2+\ln 2<2+\dfrac{\sqrt 2}2<1+\sqrt 3,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
