若函数 $f(x)=m-\sqrt{x+3}$ 的定义域为 $[a,b]$，值域也为 $[a,b]$，求实数 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\dfrac 94,-2\right]$
【解析】
注意到函数 $f(x)$ 为单调递减函数，于是$$\begin{cases} f(a)=b,\\f(b)=a, \end{cases}$$设 $A \left( a,f(a)\right) $，$B\left( b,f(b)\right) $，则点 $A$、$B$ 关于直线 $y=x$ 对称．设直线 $AB$ 的方程为$$AB:y=-x+2t,$$该直线与 $y=x$ 相交于点 $M(t,t)$，于是要保证 $A$、$B$ 关于直线 $y=x$ 对称，只需要直线 $AB$ 与抛物线 $y=m-\sqrt{x+3}$ 相交且交点横坐标之和为 $2t$ 即可．联立整理得$$x^2-(4t-2m+1)x+(2t-m)^2-3=0,$$于是两根之和$$4t-2m+1=2t,$$即$$m=t+\dfrac 12,$$因此问题转化为直线$$AB:y=-x+2t$$与抛物线$$y=t+\dfrac 12-\sqrt{x+3}$$有两个交点，即直线 $y=x-t+\dfrac 12$ 和函数 $y=\sqrt{x+3}$ 的图象有两个交点．
如图，可以得到 $-t+\dfrac 12$ 的取值范围是 $\left[3,\dfrac{13}4\right)$，从而 $m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{9}4,-2\right]$．
如图，可以得到 $-t+\dfrac 12$ 的取值范围是 $\left[3,\dfrac{13}4\right)$，从而 $m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{9}4,-2\right]$．
答案
解析
备注
