题目 已知函数 $f\left( x \right) ={x^3}+ 3|x - a|\left(a > 0\right)$，若 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ - 1,1\right]$ 上的最小值记为 $g\left(a\right)$． 问题1 求 $g\left(a\right)$； 答案1 $g(a)=\begin{cases} a^3,0<a<1,\\-2+3a,a\geqslant 1.\end{cases}$ 解析1 根据题意，有$$f(x)=\begin{cases} x^3+3x-3a,&x>a,\\a^3,&x=a,\\ x^3-3x+3a,&x<a,\end{cases}$$因此$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2+3,&x>a,\\3x^2-3,&x<a.\end{cases}$$按 $a$ 与 $-1,1$ 的大小关系展开讨论．<br/><case>情形一</case>当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,a]$ 上单调递减，在 $[a,1]$ 上单调递增，因此 $g(a)=f(a)=a^3$；<br/><case>情形二</case>当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，因此 $g(a)=f(1)=-2+3a$．<br/>综上所述，$$g(a)=\begin{cases} a^3,0<a<1,\\-2+3a,a\geqslant 1.\end{cases}$$ 备注1 问题2 证明：当 $x \in \left[ - 1,1\right]$ 时，恒有 $f\left(x\right) \leqslant g\left(a\right) + 4$． 答案2 略 解析2 <case>情形一</case>当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,a]$ 上单调递减，在 $[a,1]$ 上单调递增，因此函数 $f(x)$ 的最大值$$h(a)=\max\left\{f(-1),f(1)\right\}=\begin{cases} 4-3a,0<a\leqslant \dfrac 13,\\2+3a,\dfrac 13 <a<1.\end{cases}$$<case>情形二</case>当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，因此函数 $f(x)$ 的最大值 $h(a)=f(-1)=2+3a$．<br/>因此当 $x\in [-1,1]$，恒有$$f(x)-g(a)-4\leqslant h(a)-g(a)-4=\begin{cases} -a^3-3a,0<a\leqslant \dfrac 13,\\-a^3+3a-2,\dfrac 13<a<1,\\ 0,a\geqslant 1,\end{cases}$$而在 $0<a\leqslant \dfrac 13$ 时，有$$-a^3-3a=-a(a^2+3)<0.$$在 $\dfrac 13<a<1$ 时，有$$-a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2)<0.$$因此当 $x\in [-1,1]$ 时，有 $f(x)-g(a)-4\leqslant 0$ 恒成立，原命题得证． 备注2