已知 $abc = - 1$，$\dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{b}{{{c^2}}} = 1$，${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a = t$，求 $a{b^5} + b{c^5} + c{a^5}$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学保送生试题
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
由 $\dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{b}{{{c^2}}} = 1$，得$${a^2}c = {c^2} - b,$$根据轮换对称可得 ${b^2}a = {a^2} - c$，${c^2}b = {b^2} - a$，于是\[\begin{split}a{b^5} + b{c^5} + c{a^5} &= {b^3}\left( {{a^2} - c} \right) + {c^3}\left( {{b^2} - a} \right) + {a^3}\left( {{c^2} - b} \right)\\&= {a^2}{b^3} + {b^2}{c^3} + {c^2}{a^3} - \left( {{b^3}c + {c^3}a + {a^3}b} \right)\\&= ab\left( {{a^2} - c} \right) + bc\left( {{b^2} - a} \right) + ca\left( {{c^2} - b} \right) - \left( {{b^3}c + {c^3}a + {a^3}b} \right)\\& = 3.\end{split}\]
答案
解析
备注
