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已知 $abc = - 1$，$\dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{b}{{{c^2}}} = 1$，${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a = t$，求 $a{b^5} + b{c^5} + c{a^5}$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学保送生试题
【标注】
  • 题型
    >
    代数变形
    >
    代数式求值
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    换元
    >
    三角换元
【答案】
$3$
【解析】
情形一当 $c > 0$ 时，令$$a = {c^{\frac{1}{2}}}\sin \theta, b = {c^2}{\cos ^2}\theta ,$$则由 $abc = - 1$，得 ${c^{\frac{7}{2}}} = - \dfrac{1}{{\sin \theta {{\cos }^2}\theta }}$，于是\[\begin{split} a{b^5} + b{c^5} + c{a^5}& = {c^{\frac{{21}}{2}}}\sin \theta {\cos ^{10}}\theta + {c^7}{\cos ^2}\theta + {c^{\frac{7}{2}}}{\sin ^5}\theta\\&= - \dfrac{{\sin \theta {{\cos }^{10}}\theta }}{{{{\sin }^3}\theta {{\cos }^6}\theta }} + \dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^4}\theta }} - \dfrac{{{{\sin }^5}\theta }}{{\sin \theta {{\cos }^2}\theta }}\\&= - \dfrac{{{{\cos }^4}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }} - \dfrac{{{{\sin }^4}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}\\&= \dfrac{{ - {{\cos }^6}\theta + 1 - {{\sin }^6}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }} \\&= 3,\end{split}\]情形二当 $c < 0$ 时，令 $\begin{cases}a = {\left( { - c} \right)^{\frac{1}{2}}}\tan \theta ,\\
b = {c^2}{\sec ^2}\theta,\\ \end{cases}$，以下略．
答案 解析 备注
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