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  函数

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  根与系数的关系

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  三次方程的韦达定理

$\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}3-b}\right]$

由三次方程的韦达定理知$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-a,\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b,\\x_1x_2x_3=-c.\end{cases}$$所以$$\begin{split}|x_3-x_1|=&\sqrt{(x_3+x_1)^2-4x_3x_1}\\=&\sqrt{(-a-x_2)^2-4[b-x_2(-a-x_2)]}\\=&\sqrt{-3x_2^2-2ax_2+a^2-4b}\\=&\sqrt{-3\left(x_2+\dfrac a3\right)^2+4\left(\dfrac {a^2}3-b\right)}.\end{split}$$令 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，并设它的极大值与极小值点分别为 $m,n$，则 $m,n$ 是 $f'(x)=3x^2+2ax+b$ 的两个零点，从而有$$\begin{split} \dfrac {m+n}2=&-\dfrac a3,\\|n-m|=&\dfrac {\sqrt{4a^2-12b}}3=\dfrac 23\sqrt{a^2-3b}.\end{split} $$因为方程有三个实根，所以$$x_2\in\left(-\dfrac a3-\dfrac 13\sqrt{a^2-3b},-\dfrac a3+\dfrac 13\sqrt{a^2-3b}\right),$$从而有$$\left(x_2+\dfrac a3\right)^2\in\left[0,\dfrac 19(a^2-3b)\right),$$代入 $|x_3-x_1|$ 中得到所求范围为 $\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}3-b}\right]$．

• 题型

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  代数变形

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  解高次方程

有理解为 $(a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)$，无理解为 $\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)$，其中 $b=t+\dfrac 2{3t}$，而 $t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}$

由题意知$$\begin{cases} a+b+c=-a,\\ab+bc+ca=b,\\abc=-c,\end{cases}$$当 $c=0$ 时，有 $b=-2a,ab=b$，对应两组解$$(a,b,c)=(0,0,0),(a,b,c)=(1,-2,0).$$当 $c\ne 0$ 时，有 $ab=-1$，从而 $a=-\dfrac 1b$，$c=\dfrac 2b-b$，得到$$-1-\dfrac 1b\left(\dfrac 2b-b\right)+b\left(\dfrac 2b-b\right)=b,$$整理得$$(b+1)(b^3-2b+2)=0,$$所以 $b=-1$ 或 $b^3-2b+2=0$，前者对应一组解$$(a,b,c)=(1,-1,-1),$$再解后面的一元三次方程，令 $b=t+\dfrac mt$，代入整理得$$t^3+\dfrac {m^3}{t^3}+(3m-2)t+\dfrac mt(3m-2)+2=0,$$令 $m=\dfrac 23$，得到 $t^6+2t^3+\dfrac 8{27}=0$，所以 $t=\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}$，而 $b=t+\dfrac 2{3t}$（$t$ 的两个值对应的 $b$ 的值相等，随便取一个便可）．