已知关于 $x$ 的方程 $x^3-3x+4=0$ 的三个根分别为 $a,b,c$，求 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm 18{\rm i}$
【解析】
根据题意\[x^3-3x+4=(x-a)(x-b)(x-c),\]两边求导可得\[3x^2-3=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),\]分别令 $x=a,b,c$，将得到的式子相乘，可得\[\left(3a^2-3\right)\left(3b^2-3\right)\left(3c^2-3\right)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,\]即\[27\cdot (1-a)(1-b)(1-c) \cdot (-1-a)(-1-b)(-1-c)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,\]因此\[27\cdot \left(x^3-3x+4\right)\left|_{x=1}\right.\cdot\left(x^3-3x+4\right)\left|_{x=-1}\right.=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,\]从而可得所求代数式的值为 $\pm 18{\rm i}$．
答案
解析
备注
