已知关于 $x$ 的方程 $x^3-3x+4=0$ 的三个根分别为 $a,b,c$，求 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm 18{\rm i}$
【解析】
根据韦达定理，有\[a+b=-c,ab=-\dfrac 4c\]于是\[(b-c)(c-a)=(a+b)c-c^2-ab=-2c^2+\dfrac 4c=\dfrac{-2c^3+4}{c}=-6+\dfrac{12}c=-12\left(\dfrac 12-\dfrac 1c\right).\]而\[1-3\cdot \left(\dfrac 1x\right)^2+4\cdot\left(\dfrac 1x\right)^3=0,\]因此\[4t^3-3t^2+1=4\left(t-\dfrac 1a\right)\left(t-\dfrac 1b\right)\left(t-\dfrac 1c\right),\]令 $t=\dfrac 12$，可得\[(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=-12^3\cdot \dfrac{3}{16}=-324,\]从而所求代数式的值为 $\pm 18{\rm i}$．
答案
解析
备注
