已知直线 $l:x=t$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $A,B$ 两点，$M$ 是椭圆 $C$ 上一点，设直线 $MA,MB$ 分别与 $x$ 轴交于 $E,F$ 两点，$O$ 为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
{\color{cyan}坐标法\quad} 设 $A(t,s)$，$B(t,-s)$，$M(m,n)$，则\[\dfrac{t^2}{a^2}+\dfrac{s^2}{b^2}=\dfrac{m^2}{a^2}+\dfrac{n^2}{b^2}=1,\]且\[|OE|\cdot |OF|=\left|\dfrac{tn-ms}{n-s}\cdot \dfrac{tn-m(-s)}{n-(-s)}\right|=\left|\dfrac{t^2n^2-m^2s^2}{n^2-s^2}\right|,\]将 $t^2=a^2-\dfrac{a^2}{b^2}s^2$，$m^2=a^2-\dfrac{a^2}{b^2}n^2$ 代入，可得 $|OE|\cdot |OF|=a^2$ 为定值．
{\color{cyan}仿射变换\quad} 利用仿射变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 将椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=4$，如图．由于 $\angle OMB=\angle OBM=\angle OAF$，于是 $O,M,F,A$ 四点共圆，进而有\[\angle OMA=\angle AFO=\angle MFO,\]因此 $\triangle OME$ 与 $\triangle OFM$ 相似，进而\[|OE|\cdot |OF|=|OM|^2=a^2\]为定值．
{\color{cyan}仿射变换\quad} 利用仿射变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 将椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=4$，如图．由于 $\angle OMB=\angle OBM=\angle OAF$，于是 $O,M,F,A$ 四点共圆，进而有\[\angle OMA=\angle AFO=\angle MFO,\]因此 $\triangle OME$ 与 $\triangle OFM$ 相似，进而\[|OE|\cdot |OF|=|OM|^2=a^2\]为定值．
答案
解析
备注
