证明：$\dfrac{\pi}4=4\arctan \dfrac 15-\arctan\dfrac{1}{239}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$，于是$$\tan\left(2\arctan\dfrac 15\right)=\dfrac{\dfrac 25}{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{5}{12},$$于是$$\tan \left(4\arctan\dfrac 15\right)=\dfrac{\dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{25}{144}}=\dfrac{120}{119},$$从而$$\tan\left(4\arctan\dfrac 15-\arctan\dfrac{1}{239}\right)= \dfrac{\dfrac{120}{119}-\dfrac{1}{239}}{1+\dfrac{120}{119}\cdot\dfrac{1}{239}}=1,$$容易知道 $4\arctan \dfrac 15-\arctan\dfrac{1}{239}$ 是一个锐角，因此$$4\arctan \dfrac 15-\arctan\dfrac{1}{239}=\dfrac{\pi}4,$$原命题得证．
答案
解析
备注
