甲乙两人采用五局三胜制比赛，单局甲获胜的概率为 $p$ 且 $p > \dfrac 12$，甲最终获胜的概率为 $q$，当 $p$ 为何值时 $q - p$ 最大？
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{1 + \sqrt {1 - 4\sqrt {\dfrac{1}{{30}}} } }}{2}$
【解析】
根据题意\[\begin{split}q &= {\rm C}_2^2{p^2} \cdot p + {\rm C}_3^2{p^2}\left( {1 - p} \right) \cdot p + {\rm C}_4^2{p^2}{\left( {1 - p} \right)^2} \cdot p\\&= {p^3} + 3{p^3}\left( {1 - p} \right) + 6{p^3}{\left( {1 - p} \right)^2}\\&= 6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3},\end{split}\]于是\[q - p = 6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3} - p.\]因此\[\begin{split}{\left( {6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3} - p} \right)^\prime } &= 30{p^4} - 60{p^3} + 30{p^2} - 1 \\&= 30{p^2}{\left( {p - 1} \right)^2} - 1,\end{split}\]由 $p\left( {p - 1} \right) = - \sqrt {\dfrac{1}{{30}}} $，解得\[p = \dfrac{{1 + \sqrt {1 - 4\sqrt {\dfrac{1}{{30}}} } }}{2}\]为使得 $q-p$ 最大的 $p$ 的值．
答案
解析
备注
