已知正 $n$ 边形共有 $n$ 条对角线，它的周长等于 $p$，所有对角线长度的和等于 $q$，求 $\dfrac qp-\dfrac pq$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年中国人民大学财经学院金融学与数学实验班选拔试题
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为正 $n$ 边形有 $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 条对角线，解方程$$\dfrac{n(n-3)}{2}=n,$$得 $n=5$．不妨设正五边形的边长为 $1$，其对角线长为 $x$，则根据托勒密定理，有$$x^2=1\cdot x+1\cdot 1,$$解得 $x=\dfrac {\sqrt 5+1}{2}$，故$$\dfrac qp-\dfrac pq=x-\dfrac 1x=1.$$
答案
解析
备注
