已知函数 $y = f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称，且当 $x \leqslant 1$ 时，$f(x) = \dfrac{{7x - 7}}{{{x^2} - x + 1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求当 $x > 1$ 时 $y = f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=\dfrac{{7x - 7}}{{{x^2} - 3x + 3}}$解析$x > 1$ 时，$2-x<0$，所以 $f(x)=-f(2-x)=\dfrac{{7x - 7}}{{{x^2} - 3x + 3}}$．
-
求 $y = f(x)$ 的递增区间；标注答案$f(x)$ 的递增区间为 $\left[ {0 ,2} \right]$解析$x < 1$ 时，$f(x) < 0$，$$f(x) = \dfrac{7}{{x - 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} + 1}},$$熟知 $x - 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}$ 在 $x - 1 \in \left[ { - 1 , 0} \right)$ 上递减，
所以 $f(x)$ 在 $x - 1 \in \left[ { - 1 , 0} \right)$ 即 $x \in \left[ {0 ,1} \right)$ 时递增．
同理，$x > 1$ 时，$f(x) > 0$，$f(x)$ 在 $\left( {1 , 2} \right]$ 时递增（或者由对称性可得）．
因此 $f(x)$ 的递增区间为 $\left[ {0 ,2} \right]$． -
设 $p \geqslant 4$，$q \geqslant 4$，求证：$|f(p) - f(q)| < 3$．标注答案略解析$x > 1$ 时，$f(x) > 0$，$f(x)$ 在 $\left[ {4 , + \infty } \right)$ 上递减，且 $f(4) = 3$，于是$$|f(p) - f(q)| < \left| {f(p)} \right| \leqslant 3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
