已知圆 $O:x^2+y^2=4$，直线 $l:y=kx+5$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若存在直线 $l$ 上一点 $A$ 以及圆 $O$ 上一点 $B$，使得 $\angle OAB=\dfrac{\pi}6$，求 $k$ 的取值范围；标注答案$\left(-\infty,-\dfrac 34\right]\cup\left[\dfrac 34,+\infty\right)$解析先不考虑点 $A$ 在直线 $l$ 上这一条件，将注意力都放在当 $A$ 点的位置确定时，随着点 $B$ 的运动，$\angle OAB$ 或 $\angle OBA$ 的变化范围．
当点 $A$ 位于圆 $O$ 内（包含边界）时，显然存在 $\angle OAB=\dfrac{\pi}6$．当点 $A$ 位于圆 $O$ 外部时，$\angle OAB$ 的取值范围是 $\left[0,\arcsin\dfrac{2}{OA}\right]$，如图．
因此当 $OA\leqslant 4$ 时，$\angle OAB$ 可以取得 $\dfrac{\pi}6$．回到原问题，即圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离不大于 $4$，也即$$\dfrac{5}{\sqrt{1+k^2}}\leqslant 4,$$解得 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 34\right]\cup\left[\dfrac 34,+\infty\right)$． -
若对直线 $l$ 上任意一点 $A$，均存在圆 $O$ 上一点 $B$，使得 $\angle OBA=\dfrac{\pi}6$，求 $k$ 的取值范围．标注答案$[-2\sqrt 6,2\sqrt 6]$解析当点 $A$ 位于圆 $O$ 外（包含边界）时，显然存在 $\angle OBA=\dfrac{\pi}6$．当点 $A$ 位于圆 $O$ 内部时，$\angle OBA$ 的取值范围是 $\left[0,\arcsin\dfrac{OA}{2}\right]$，如图．
因此当 $OA\geqslant 1$ 时，$\angle OBA$ 可以取得 $\dfrac{\pi}6$．回到原问题，即圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $1$，也即$$\dfrac{5}{\sqrt{1+k^2}}\geqslant 1,$$解得 $k$ 的取值范围是 $[-2\sqrt 6,2\sqrt 6]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
