题目 已知点 $A$ 是抛物线 $y=\dfrac 12x^2$ 上的一个动点，过 $A$ 作圆 $D:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2$（$r>0$）的两条切线，它们分别切圆 $D$ 于 $E,F$ 两点．<br><img src="/static/images/a9a1d1bee24a61ce38a56c35fd4b5ba4.png" class="img-responsive" /> 问题1 当 $r=\dfrac 32$，$A$ 点坐标为 $(2,2)$ 时，求两条切线的方程； 答案1 $y-2=0$，$24x-7y-34=0$ 解析1 设直线 $kx-y-2k+2=0$ 是过点 $A$ 的圆的切线，则$$\dfrac{\left|-2k+\dfrac 32\right|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac 32,$$解得$$k=0\lor k=\dfrac{24}{7}.$$于是两条切线的方程为 $y-2=0$ 以及 $24x-7y-34=0$． 备注1 问题2 若当 $A$ 在抛物线上（总在圆 $D$ 外部）运动时，直线 $EF$ 都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围． 答案2 $\left(0,\dfrac{\pi}{16}\right)$ 解析2 联立抛物线与圆的方程，可得$$2y+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2,$$该方程无正根，因此 $0<r<\dfrac 12$．<br/>设 $A\left(m,\dfrac 12m^2\right)$，则直线 $EF$ 的方程为$$mx+\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)\left(y-\dfrac 12\right)=r^2,$$整理得$$\left(\dfrac 12y-\dfrac 14\right)m^2+xm-\dfrac 12y+\dfrac 14-r^2=0.$$无论 $m$ 取何值，直线 $EF$ 都不通过点 $(x,y)$ 等价于这个关于 $m$ 的二次方程无解，即$$\Delta=x^2+\left(y-\dfrac 12\right)\left(y-\dfrac 12+2r^2\right)<0,$$也即$$x^2+\left(y+r^2-\dfrac 12\right)^2<r^4,$$因此所求区域的面积为 ${\pi}r^4$，取值范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}{16}\right)$． 备注2 考虑点 $M(0,t)$ 到直线 $EF$ 的距离，为$$\dfrac{\left|\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)\cdot \left(t-\dfrac 12\right)-r^2\right|}{\sqrt{m^2+\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)^2}},$$注意到分母为 $\dfrac 12m^2+\dfrac 12$，于是可得点 $M\left(0,\dfrac 12-r^2\right)$ 到直线 $EF$ 的距离为定值 $r^2$，因此直线 $EF$ 恒为以 $M$ 为圆心，$r^2$ 为半径的圆的切线．根据直线 $EF$ 倾斜角的任意性，可得圆 $M$ 的面积为所求，以下略．