已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的一个焦点为 $\left(\sqrt 5 ,0\right)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 5 }{3}$．
【难度】
【出处】
2014年高考广东卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$解析记 $c$ 为椭圆的半焦距，则根据题意有 $c=\sqrt 5$，$\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 5}3$，进而可得 $a=3$，$b=2$．因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$．
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若动点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程．标注答案$x^2+y^2=13$解析如图，设两个切点分别 $M,N$，作椭圆的左焦点 $F_1$ 关于两条切线 $PM,PN$ 的对称点，分别为 $F_1',F_1''$，连接 $F_1F_1',F_1F_1'',F_2F_1',F_2F_1''$，$A,B$ 分别为线段 $F_1F_1',F_1F_1''$ 的中点，连接 $OA,OB,OP$．
根据椭圆的光学性质，$F_2,M,F_1'$ 以及 $F_2,N,F_1''$ 均三点共线，因此 $|OA|=|OB|=3$．由于四边形 $APBF_1$ 为矩形，因此$$|OP|^2+|OF_1|^2=|OA|^2+|OB|^2,$$即$$|OP|^2=13,$$从而点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=13$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
