已知函数 $f(x)=a|{\log_2} x|+1$（$a \neq 0$），定义函数 $F(x)=\begin{cases}f(x),& x>0,\\ f(-x),&x<0,\end{cases}$ 给出下列命题：
① $F(x)=|f(x)|$；
② 函数 $F(x)$ 是偶函数；
③ 当 $a<0$ 时，若 $0<m<n<1$，则有 $F(m)-F(n)<0$ 成立；
④ 当 $a>0$ 时，函数 $y=F(x)-2$ 有 $4$ 个零点．
其中正确命题的个数为 \((\qquad)\)
① $F(x)=|f(x)|$；
② 函数 $F(x)$ 是偶函数；
③ 当 $a<0$ 时，若 $0<m<n<1$，则有 $F(m)-F(n)<0$ 成立；
④ 当 $a>0$ 时，函数 $y=F(x)-2$ 有 $4$ 个零点．
其中正确命题的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
对于 ①，因为 $F(x)$ 的定义域为 $\{x\mid x \neq 0\}$，$|f(x)|$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，两函数定义域不相同，所以两个函数不同，故 ① 不正确；
对于 ②，因为$$F(-x)=\begin{cases}f(x),& x>0,\\ f(-x),&x<0 \end{cases}=F(x),$$所以函数 $F(x)$ 是偶函数，故 ② 正确；
对于 ③，由复合函数单调性，知当 $a<0$ 时，$F(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，故 ③ 正确；
对于 ④，由 $F(x)$ 是定义域在 $\{x\mid x \neq 0\}$ 上的偶函数，因此可以转化考虑当 $a>0$，$x>0$ 时，函数 $y=F(x)-2$ 即 $y=f(x)-2$ 的零点是不是 $2$ 即可，因为 $|{\log_2} x|=\dfrac {1}{a}$（$a>0$）有两个解，故 ④ 正确．
对于 ②，因为$$F(-x)=\begin{cases}f(x),& x>0,\\ f(-x),&x<0 \end{cases}=F(x),$$所以函数 $F(x)$ 是偶函数，故 ② 正确；
对于 ③，由复合函数单调性，知当 $a<0$ 时，$F(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，故 ③ 正确；
对于 ④，由 $F(x)$ 是定义域在 $\{x\mid x \neq 0\}$ 上的偶函数，因此可以转化考虑当 $a>0$，$x>0$ 时，函数 $y=F(x)-2$ 即 $y=f(x)-2$ 的零点是不是 $2$ 即可，因为 $|{\log_2} x|=\dfrac {1}{a}$（$a>0$）有两个解，故 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
