已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$ 且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$（$n\in{\mathbb{N}}^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：$1\leqslant \dfrac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant 2$（$n\in{\mathbb{N}}^*$）；标注答案略解析注意到 $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{1-a_n}$，于是只需要证明 $0<a_n\leqslant \dfrac 12$，下面通过数学归纳法证明该命题．
当 $n=1$ 时，$a_1=\dfrac 12$ 命题显然成立；
假设当 $n=k$，$k\in\mathbb N^*$ 时命题成立，则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{k+1}=\dfrac 14-\left(\dfrac 12 -a_k\right)^2,$$显然有 $0<a_{k+1}\leqslant \dfrac 12$ 成立．
综上，原命题得证． -
设数列 $\left\{a_n^2\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，证明：$\dfrac 1{2\left(n+2\right)}\leqslant \dfrac{S_n}n\leqslant \dfrac 1{2\left(n+1\right)}$（$n\in{\mathbb{N}}^*$）．标注答案略解析注意到 $a_n^2=a_n-a_{n+1}$，于是累加得$$S_n=a_1-a_{n+1}=\dfrac 12-a_{n+1},$$因此欲证明命题为$$\dfrac{n}{2(n+2)}\leqslant \dfrac 12-a_{n+1}\leqslant \dfrac{n}{2(n+1)},$$整理得$$\dfrac{1}{2(n+1)}\leqslant a_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+2},$$下面证明这个不等式．
根据已知，有$$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}},$$于是由第（1）小题的结果得$$1\leqslant\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}\leqslant 2,$$因此累加得$$n\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_1}\leqslant 2n,$$将 $a_1=\dfrac 12$ 代入即得$$n+2\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}\leqslant 2(n+1),$$因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
