在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 与直线 $l:y=kx+a(a>0)$ 交于 $M,N$ 两点．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
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当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程；标注答案$y=\pm\sqrt ax-a$解析当 $k=0$ 时，点 $M$、$N$ 的横坐标为 $\pm 2\sqrt a$，进一步可得所求的切线方程为$$y=\pm\sqrt ax-a.$$
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$y$ 轴上是否存在点 $P$，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$？说明理由．标注答案略解析存在，点 $P$ 的坐标为 $(0,-a)$，证明如下．
设 $M\left(x_1,\dfrac{x_1^2}{4}\right)$，$N\left(x_2,\dfrac{x_2^2}{4}\right)$．联立直线与抛物线方程有$$x^2-4kx-4a=0,$$于是$$x_1+x_2=4k,x_1x_2=-4a.$$此时直线 $PM$ 的斜率为$$\dfrac{\dfrac{x_1^2}{4}-(-a)}{x_1-0}=\dfrac {x_1}4+\dfrac a{x_1},$$同理，直线 $PN$ 的斜率为 $\dfrac {x_2}4+\dfrac a{x_2}$，这两条直线的斜率之和为$$\dfrac{x_1+x_2}{4}+\dfrac{a(x_1+x_2)}{x_1x_2}=0,$$因此直线 $PM$ 与直线 $PN$ 关于 $y$ 轴对称，也就有 $\angle OPM=\angle OPN$，且与 $k$ 的取值无关．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
