已知 $n$ 是不小于 $2$ 的正整数，求证：$\displaystyle \sum_{k=2}^n\ln\dfrac{k-1}{k+1}>\dfrac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于当 $0<x<1$ 时，$\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，于是$$LSH=\ln\dfrac{2}{n(n+1)}>\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}-\sqrt{\dfrac{n(n+1)}2}=RHS,$$于是原命题成立．
答案
解析
备注
