已知抛物线 $y^2=2x$ 与圆 $(x-a)^2+y^2=4$，讨论两条曲线的公共点个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a<-2$ 或 $a>\dfrac 52$ 时，$0$ 个公共点；
当 $a=-2$ 时，$1$ 个公共点；
当 $-2<a<2$ 或 $a=\dfrac 52$ 时，$2$ 个公共点；
当 $a=2$ 时，$3$ 个公共点；
当 $2<a<\dfrac 52$ 时，$4$ 个公共点
当 $a=-2$ 时，$1$ 个公共点；
当 $-2<a<2$ 或 $a=\dfrac 52$ 时，$2$ 个公共点；
当 $a=2$ 时，$3$ 个公共点；
当 $2<a<\dfrac 52$ 时，$4$ 个公共点
【解析】
即讨论关于 $x$ 的方程$$x^2+(2-2a)x+a^2-4=0$$的零根个数（记为 $m$）和正根个数（记为 $n$），所求的公共点个数为 $m+2n$．设函数$$f(x)=x^2+(2-2a)x+a^2-4,$$则 $f(0)=a^2-4$，其判别式$$\Delta=4(5-2a),$$于是讨论的分界点为 $a=-2,2,\dfrac 52$．讨论结果如下$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
a & a<-2 & a=-2 & -2<a<2 & a=2 & 2<a<\dfrac 52 & a=\dfrac 52 & a>\dfrac 52 \\ \hline
m & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
n & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ \hline
m+2n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
\end{array}$$
a & a<-2 & a=-2 & -2<a<2 & a=2 & 2<a<\dfrac 52 & a=\dfrac 52 & a>\dfrac 52 \\ \hline
m & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
n & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ \hline
m+2n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
\end{array}$$
答案
解析
备注
