给定实数 $a,a\neq 0$，$f:\mathbb R\to \mathbb R$，对任意实数 $x$ 均满足 $f(f(x))=xf(x)+a$，则 $f(x)$ 的零点个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
假设存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f(x_0)=0$，由$$f(f(x_0))=x_0f(x_0)+a,$$可知 $f(0)=a$，令 $x=0$，则$$f(f(0))=a,$$即 $f(a)=a$，令 $x=a$，则$$f(f(a))=a^2+a,$$于是 $a^2+a=a$，所以$$a=0.$$这与已知条件中的 $a\neq 0$ 相矛盾，因此假设成立，$f(x)$ 的零点个数为 $0$，A正确．
题目
答案
解析
备注
