已知点 $A,B$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$ 上，$\overrightarrow{e}$ 是 $y$ 轴上的单位向量，且满足 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{e}=0$，当 $\triangle AOB$ 的面积最大时，$\angle AOB$ 的大小是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{e}=0$，所以 $AB\parallel x$ 轴，不妨设点 $B(x_0,y_0)$ 在第一象限，令$$x_0=\sqrt3\cos\theta,y_0=\sin\theta,0<\theta<\dfrac{\pi}{2},$$则 $\triangle AOB$ 的面积为$$S=x_0y_0=\sqrt3\sin\theta\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta.$$当 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 时，$S$ 取得最大值 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，此时$$\tan\angle BOx=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{\sin\theta}{\sqrt3\cos\theta}=\dfrac{\sqrt3}{3}\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{3},$$所以有 $\angle AOB=\pi-2\angle BOx=\dfrac{2\pi}{3}$．
题目
答案
解析
备注
