已知 $P(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $\Gamma:Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$ 上一点，过 $P$ 作互相垂直的直线分别交 $\Gamma$ 于点 $A,B$，求证：直线 $AB$ 过定点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上，可得\[Ax_0^2+By_0^2+Dx_0+Ey_0+F=0,\]将坐标系 $xOy$ 的原点平移到点 $P$ 位置，得到坐标系 $x'P'y'$，则此时曲线 $\Gamma'$ 的方程为\[A(x+x_0)^2+B(y+y_0)^2+D(x+x_0)+E(y+y_0)+F=0,\]也即\[Ax^2+By^2+(D+2Ax_0)x+(E+2By_0)y=0.\]设直线 $A'B':mx+ny=1$，与 $\Gamma'$ 化齐次联立，有\[Ax^2+By^2+\left[(D+2Ax_0)x+(E+2By_0)y\right]\cdot (mx+ny)=0.\]由 $P'A'\perp P'B'$，可得\[A+B+(D+2Ax_0)m+(E+2By_0)n=0,\]也即\[\left(-\dfrac{D+2Ax_0}{A+B}\right)\cdot m+\left(-\dfrac{E+2By_0}{A+B}\right)\cdot n=1,\]因此直线 $A'B'$ 恒过点 $Q'\left(-\dfrac{D+2Ax_0}{A+B},-\dfrac{E+2By_0}{A+B}\right)$，换算到原坐标系 $xOy$，可得所求定点为\[Q\left(-\dfrac{(A-B)x_0+D}{A+B},-\dfrac{(B-A)y_0+E}{A+B}\right).\]
答案
解析
备注
