已知圆 $x^2+y^2=r^2$ 与 $x$ 轴的交点为 $A,B$，已知 $M,N$ 是圆上两个动点，且 $AM,BN$ 相交于点 $P$，若点 $P$ 在直线 $x=2r$ 上，证明：$MN$ 与 $AB$ 交于定点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
点 $A,B$ 对应的角度分别为 $0,\dfrac{\pi}{2}$，设 $M,N$ 对应的角度分别为 $\theta,\varphi$，则 $AM,BN$ 的直线方程分别为\[\begin{split} AM:y=&-\cot(0+\theta)\left(x-r\cdot\dfrac{\cos(0+\theta)}{\cos(0-\theta)}\right),\\BN:y=&-\cot\left(\dfrac{\pi}{2}+\varphi\right)\left(x-r\cdot\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\varphi\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\varphi\right)}\right).\end{split}\]因为 $AM,BN$ 的交点 $P$ 的横坐标为 $2r$，所以有$$-\cot\theta\left(2r-r\cdot\dfrac{\cos\theta}{\cos\theta}\right)=-\cot\left(\dfrac{\pi}{2}+\varphi\right)\left(2r-r\cdot\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\varphi\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\varphi\right)}\right).$$整理得 $\tan\theta\tan\varphi=-\dfrac 13$．
又由引理得 $MN$ 的横截距等于$$r\cdot\dfrac{\cos(\theta-\varphi)}{\cos(\theta+\varphi)}=r\cdot\dfrac{1+\tan\theta\tan\varphi}{1-\tan\theta\tan\varphi}=\dfrac 12r.$$
答案
解析
备注
