已知 $P(x,y)$ 的坐标满足 $\begin{cases}x\leqslant 0,\\ y>x,\\ y<2x+1,\end{cases}$ 求 $\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\sqrt 2,1\right)$
【解析】
根据题意，设 $Q(1,1)$，则所求代数式\[m=\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt 2\cdot \dfrac{(x,y)\cdot (1,1)}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt 2\cos \langle \overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle.\]而 $\langle \overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}4,\pi\right)$，因此 $m$ 的取值范围是 $\left(-\sqrt 2,1\right)$．
答案
解析
备注
