设 $a>1$，$\alpha,\beta$ 是方程 $a^x\left|{\log_a}x\right|=1$ 的两根，则 $\alpha\beta$ 与 $1$ 大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $\alpha<\beta$，由题可得$$\begin{cases}{\log_a}\alpha=\left(\dfrac1a\right)^\alpha,\\{\log_a}\beta=-\left(\dfrac1a\right)^\beta,\end{cases}$$两式相加，得$${\log_a}\left(\alpha\beta\right)=\left(\dfrac1a\right)^{\alpha}-\left(\dfrac1a\right)^{\beta}<0,$$因此 $\alpha\beta<1$．
题目
答案
解析
备注
