已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 满足 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=2m$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2n$，求 $|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\left|m^2-n^2\right|,m^2+n^2\right]$
【解析】
设 $\overrightarrow a+\overrightarrow b=2\overrightarrow x$，$\overrightarrow a-\overrightarrow b=2\overrightarrow y$，则 $|\overrightarrow x|=m$ 且 $|\overrightarrow y|=n$．根据题意，有\[\begin{split}
|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|&=\left|\overrightarrow x+\overrightarrow y\right|\cdot \left|\overrightarrow x-\overrightarrow y\right|\\
&=\sqrt{m^2+n^2+2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\cdot \sqrt{m^2+n^2-2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\\
&=\sqrt{(m^2+n^2)^2-4(\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y)^2},
\end{split}\]而 $\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y$ 的取值范围是 $[-mn,mn]$，于是 $|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$ 的取值范围是 $\left[\left|m^2-n^2\right|,m^2+n^2\right]$．
|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|&=\left|\overrightarrow x+\overrightarrow y\right|\cdot \left|\overrightarrow x-\overrightarrow y\right|\\
&=\sqrt{m^2+n^2+2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\cdot \sqrt{m^2+n^2-2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\\
&=\sqrt{(m^2+n^2)^2-4(\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y)^2},
\end{split}\]而 $\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y$ 的取值范围是 $[-mn,mn]$，于是 $|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$ 的取值范围是 $\left[\left|m^2-n^2\right|,m^2+n^2\right]$．
答案
解析
备注
