已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $\forall n\in\mathbb N^*$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且 $a_k=2017$，求 $k$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$11$
【解析】
记兔子数列 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,\cdots$ 为数列 $\{b_n\}$，则对所有正整数 $n$ 均有\[a_{n+2}=b_n\cdot a_1+b_{n+1}\cdot a_2.\]当 $k=12$ 时，有\[a_{12}=55a_1+89a_2,\]考虑 $2017\equiv 37\pmod{55}$，而 $89m$（$m\in\mathbb N$ 且 $m\leqslant 22$）模 $55$ 的余数分别为\[0,34,13,47,26,5,39,18,52,31,10,44,23,2,36,15,49,28,7,41,20,54,33\]因此不符合题意；
当 $k=11$ 时，有\[a_{11}=34a_1+55a_2,\]考虑 $2017 \equiv 11\pmod {34}$，由于 $55m$（$m\in\mathbb N$）模 $34$ 的余数分别为\[0,21,8,29,16,3,24,11,\cdots\]于是取 $(a_1,a_2)=(48,7)$ 即符合题意．
接下来证明若 $k=p$（$p\geqslant 3$）符合题意，那么 $k=p-1$ 也符合题意，证明如下．
若存在 $k=p$ 且 $p\geqslant 3$ 的情形，即\[2017=b_{p-2}a_1+b_{p-1}a_2=b_{p-2}a_1+(b_{p-2}+b_{p-3})a_2=b_{p-3}a_2+b_{p-2}(a_1+a_2),\]这就意味着那么必然存在 $k=p-1$ 的情形．例如当 $(a_1,a_2)=(7,55)$ 时，$a_{10}=2017$．
由于 $k=12$ 不符合题意，因此 $k\geqslant 13$ 时必然不符合题意．
综上所述，$k$ 的最大值为 $11$．
当 $k=11$ 时，有\[a_{11}=34a_1+55a_2,\]考虑 $2017 \equiv 11\pmod {34}$，由于 $55m$（$m\in\mathbb N$）模 $34$ 的余数分别为\[0,21,8,29,16,3,24,11,\cdots\]于是取 $(a_1,a_2)=(48,7)$ 即符合题意．
接下来证明若 $k=p$（$p\geqslant 3$）符合题意，那么 $k=p-1$ 也符合题意，证明如下．
若存在 $k=p$ 且 $p\geqslant 3$ 的情形，即\[2017=b_{p-2}a_1+b_{p-1}a_2=b_{p-2}a_1+(b_{p-2}+b_{p-3})a_2=b_{p-3}a_2+b_{p-2}(a_1+a_2),\]这就意味着那么必然存在 $k=p-1$ 的情形．例如当 $(a_1,a_2)=(7,55)$ 时，$a_{10}=2017$．
由于 $k=12$ 不符合题意，因此 $k\geqslant 13$ 时必然不符合题意．
综上所述，$k$ 的最大值为 $11$．
答案
解析
备注
