已知 $f(x)=\dfrac{x^2\tan x}{\tan x-x}$，求证：$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$f(x)=\dfrac{x^2\sin x}{\sin x-x\cos x},x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),$$于是\[\begin{split}f'(x)&=-x\cdot \dfrac{x^2+x\sin x\cos x-2\sin^2x}{(\sin x-x\cos x)^2} \\
&=-x\cdot \dfrac{2x^2+x\sin 2x+2\cos 2x-2}{2(\sin x-x\cos x)^2}.\end{split}\]设 $\varphi(x)=2x^2+x\sin 2x+2\cos 2x-2$，则$$\varphi'(x)=4x+2x\cos 2x-3\sin 2x,$$进而\[\begin{split}\varphi''(x)&=4-4x\sin 2x-4\cos 2x\\
&=8\sin ^2x-8x\sin x\cos x\\
&=8\sin x\cos x(\tan x-x)\\
&>0,\end{split}\]以下略．
&=-x\cdot \dfrac{2x^2+x\sin 2x+2\cos 2x-2}{2(\sin x-x\cos x)^2}.\end{split}\]设 $\varphi(x)=2x^2+x\sin 2x+2\cos 2x-2$，则$$\varphi'(x)=4x+2x\cos 2x-3\sin 2x,$$进而\[\begin{split}\varphi''(x)&=4-4x\sin 2x-4\cos 2x\\
&=8\sin ^2x-8x\sin x\cos x\\
&=8\sin x\cos x(\tan x-x)\\
&>0,\end{split}\]以下略．
答案
解析
备注
