已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=\dfrac{2n-1}{2n}a_n+\dfrac 1{2n}+3$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=2n+1,n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据题意，有\[2na_{n+1}=(2n-1)a_n+1+6n,\]即\[2n(a_{n+1}-1)=(2n-1)(a_n-1)+6n,\]也即\[2n\left[a_{n+1}-1-2(n+1)\right]=(2n-1)\left(a_n-1-2n\right),\]由于 $a_1=3$，于是\[a_{n+1}-1-2(n+1)=0,\]从而 $a_n=2n+1,n\in\mathbb N^*$ 为所求．
答案
解析
备注
