题目 设 $k > 0$，在直线 $y = kx$ 与 $y = - kx$ 上分别取点 $A\left( {{x_A}, {y_A}} \right)$ 与 $B\left( {{x_B}, {y_B}} \right)$，使 ${x_A}{x_B} > 0$ 且 $\left| {OA} \right| \cdot \left| {OB} \right| = 1 + {k^2}$，其中 $O$ 是坐标原点．记 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹为 $C$． 问题1 求 $C$ 的方程； 答案1 ${x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{{{k^2}}} = 1$ 解析1 由 $\left| {OA} \right| \cdot \left| {OB} \right| = 1 + {k^2}$，得$$\sqrt {\left( {x_A^2 + {k^2}x_A^2} \right)\left( {x_B^2 + {k^2}x_B^2} \right)} = 1 + {k^2},$$因为 ${x_A}{x_B} > 0$，所以 ${x_A}{x_B} = 1$，又 $M\left( {{x_M}, {y_M}} \right)$ 满足$${x_M} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right),{y_M} = \dfrac{k}{2}\left( {{x_A} - {x_B}} \right),$$因此 ${x_A} = {x_M} + \dfrac{1}{k}{y_M}$，${x_B} = {x_M} - \dfrac{1}{k}{y_M}$，故$${x_A}{x_B} = \left( {{x_M} + \dfrac{1}{k}{y_M}} \right)\left( {{x_M} - \dfrac{1}{k}{y_M}} \right) = x_M^2 - \dfrac{1}{{{k^2}}}y_M^2,$$所以 $x_M^2 - \dfrac{1}{{{k^2}}}y_M^2 = 1$，故 $C$ 的方程为 ${x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{{{k^2}}} = 1$． 备注1 问题2 若抛物线 ${x^2} = 2py$（$p > 0$）与 $C$ 在两点相切，证明：两个切点分别在两条定直线上，并求在这两切点处的切线方程． 答案2 $y = k \pm \sqrt 2 k\left( {x \mp \sqrt 2 } \right)$ 解析2 记抛物线 ${x^2} = 2py$ 与双曲线 $C:{x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{{{k^2}}} = 1$ 的一个切点为 $\left( {{x_0}, {y_0}} \right)$，联立$$\begin{cases}<br/>{{x^2} = 2py} ,\\<br/>{{x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{{{k^2}}} = 1} \end{cases}$$因此 $\dfrac{{{y^2}}}{{{k^2}}} - 2py + 1 = 0$，解得$$y = p{k^2} \pm k\sqrt {{p^2}{k^2} - 1} ,$$又 $\begin{cases}{2x = 2py'} \\<br/>{2x - \dfrac{{2yy'}}{{{k^2}}} = 0} \end{cases}$ 因此 ${y_0} = p{k^2}$，所以两曲线相切时，$${p^2}{k^2} = 1,$$即$$p = \dfrac{1}{k},$$由 $x_0^2 = 2p{y_0} = 2{p^2}{k^2} = 2$，得 ${x_0} = \pm \sqrt 2 $，<br/>故两切点分别在直线 $x = \sqrt 2 $ 和 $x = - \sqrt 2 $ 上，又$${x_0} = \pm \sqrt 2 ,{y_0} = k,y'\left| {_{x = {x_0}}} \right. = \dfrac{{{x_0}}}{p} = \pm \sqrt 2 k,$$故所求切线方程为 $y = k \pm \sqrt 2 k\left( {x \mp \sqrt 2 } \right)$． 备注2