已知 $abc = - 1$，$\dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{b}{{{c^2}}} = 1$，${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a = t$，求 $a{b^5} + b{c^5} + c{a^5}$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学保送生试题
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
由$$\begin{cases}abc = - 1,\\ \dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{b}{{{c^2}}} = 1,\\ \end{cases}$$得$$\begin{cases}b=-\dfrac{1}{{ac}},\\b={c^2}-{a^2}c,\\ \end{cases}$$即$$\begin{cases}b=-\dfrac{1}{ac},\\ a{c^3} = {a^3}{c^2}-1,\end{cases}$$于是\[\begin{split}a{b^5} + b{c^5} + c{a^5}&= - \dfrac{1}{{{a^4}{c^5}}} - \dfrac{{{c^4}}}{a} + c{a^5}\\&= \dfrac{{ - 1 - {a^3}{c^9} + {a^9}{c^6}}}{{{a^4}{c^5}}}\\&= \dfrac{{ - 1 - {{\left( {{a^3}{c^2} - 1} \right)}^3} + {a^9}{c^6}}}{{{a^4}{c^5}}}\\&= \dfrac{{ - 3{a^3}{c^2} + 3{a^6}{c^4}}}{{{a^4}{c^5}}}\\&= \dfrac{{3{a^3}{c^2} - 3}}{{a{c^3}}}\\&= 3.\end{split}\]
答案
解析
备注
