求证：$\displaystyle \gcd \left( {a, b} \right) = \dfrac{1}{a}\sum\limits_{m = 0}^{a - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{a - 1} {{\mathrm e^{2\pi\mathrm{i}\frac{{mnb}}{a}}}} } $．
【难度】
【出处】
2013年清华大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\gcd \left( {a, b} \right) = d$，$a = dx$，$b = dy$，$\omega = {\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} \cdot \frac{y}{x}}}$，其中 $a, b, d, x, y \in {\mathbb N^ * }$，则 ${\omega ^x} = 1$，且$$\dfrac{1}{a}\sum\limits_{m = 0}^{a - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{a - 1} {{\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\frac{{mnb}}{a}}}} } = \dfrac{1}{a}\sum\limits_{m = 0}^{a - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{a - 1} {{\omega ^{mn}}} }= \dfrac{1}{a}\sum\limits_{m = 0}^{a - 1} {\left( {{\omega ^0} + {\omega ^m} + {\omega ^{2m}} + \cdots + {\omega ^{\left( {a - 1} \right)m}}} \right)}$$又由于$$\left( {1 - {\omega ^m}} \right)\left( {{\omega ^0} + {\omega ^m} + {\omega ^{2m}} + \cdots + {\omega ^{\left( {a - 1} \right)m}}} \right) = 1 - {\omega ^{am}} = 0,$$因此，当且仅当 $m = 0, x, 2x, \cdots , \left( {d - 1} \right)x$ 时，${\omega ^m} = 1$，此时$${\omega ^0} + {\omega ^m} + {\omega ^{2m}} + \cdots + {\omega ^{\left( {a - 1} \right)m}} = a,$$而当 $m$ 取其他值时$${\omega ^0} + {\omega ^m} + {\omega ^{2m}} + \cdots + {\omega ^{\left( {a - 1} \right)m}} = 0.$$于是原式的值为 $\dfrac{1}{a} \cdot da = d$，命题得证．
答案
解析
备注
