设 $F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 的右焦点，$\triangle ABC$ 是该椭圆的内接三角形，若 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$，且记点 $A,B,C$ 到椭圆右准线的距离分别为 $d_1,d_2,d_3$，那么 $d_1+d_2+d_3$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由与之的椭圆方程，知$$a=5,b=4,c=3,e=\dfrac35,$$设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，由 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$，则$$(3-x_1)+(3-x_2)+(3-x_2)=0,$$即 $x_1+x_2+x_3=9$，由焦半径公式，知$$\left|\overrightarrow{FA}\right|+\left|\overrightarrow{FB}\right|+\left|\overrightarrow{FC}\right|=3a-e(x_1+x_2+x_3),$$再结合椭圆的第二定义，知$$d_1+d_2+d_3=\dfrac1e\left(\left|\overrightarrow{FA}\right|+\left|\overrightarrow{FB}\right|+\left|\overrightarrow{FC}\right|\right)=16.$$
题目
答案
解析
备注
