已知单位圆上三点 $\left( a,b \right)$，$\left( c,d \right)$，$\left( x,y \right)$．
求 ${{\left( ax+by-c \right)}^{2}}+{{\left( bx-ay+d \right)}^{2}}+{{\left( cx+dy+a \right)}^{2}}+{{\left( dx-cy-b \right)}^{2}}$．
求 ${{\left( ax+by-c \right)}^{2}}+{{\left( bx-ay+d \right)}^{2}}+{{\left( cx+dy+a \right)}^{2}}+{{\left( dx-cy-b \right)}^{2}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
记原式为 $m$，设直线$$\begin{split}{{l}_{1}}:&ax+by-c=0,\\{{l}_{2}}:&bx-ay+d=0,\\{{l}_{3}}:&cx+dy+a=0,\\{{l}_{4}}:&dx-cy-b=0,\end{split}$$设 $P(x,y)$，则$$m={{\left[ d\left(P,{{l}_{1}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(P,{{l}_{2}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(P,{{l}_{3}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(P,{{l}_{4}} \right)\right]}^{2}}.$$注意到$${{l}_{1}}\perp {{l}_{2}},{{l}_{3}}\perp {{l}_{4}},$$设 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$，${{l}_{3}}$ 与 ${{l}_{4}}$ 分别交于点 $A$，$B$，
于是 $m=P{{A}^{2}}+P{{B}^{2}},$ 再注意到$${{\left[ d\left(O,{{l}_{1}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(O,{{l}_{2}} \right)\right]}^{2}}={{\left[ d\left(O,{{l}_{3}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(O,{{l}_{4}} \right)\right]}^{2}}=1,$$因此 $A,B$ 在单位圆上，解得$$A\left(ac-bd,bc+ad \right),B\left(bd-ac,-bc-ad \right),$$所以 $AB$ 的中点为 $O$，$AB$ 为单位圆的直径，从而有 $PA\perp PB$．因此$$m=PA^2+PB^2=AB^2=4.$$即原式的值为 $4$．
于是 $m=P{{A}^{2}}+P{{B}^{2}},$ 再注意到$${{\left[ d\left(O,{{l}_{1}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(O,{{l}_{2}} \right)\right]}^{2}}={{\left[ d\left(O,{{l}_{3}} \right)\right]}^{2}}+{{\left[ d\left(O,{{l}_{4}} \right)\right]}^{2}}=1,$$因此 $A,B$ 在单位圆上，解得$$A\left(ac-bd,bc+ad \right),B\left(bd-ac,-bc-ad \right),$$所以 $AB$ 的中点为 $O$，$AB$ 为单位圆的直径，从而有 $PA\perp PB$．因此$$m=PA^2+PB^2=AB^2=4.$$即原式的值为 $4$．
答案
解析
备注
