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若正数 $m,n$ 满足 $m+n+3=mn$，不等式 $(m+n)x^2+2x+mn-13\geqslant 0$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\dfrac23,+\infty\right)$
B: $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right)$
C: $\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac13,+\infty\right)$
D: $\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup
\left[\dfrac16,+\infty\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} mn&=t,\\ m+n&=t-3,\end{split}\]其中\[\left(\dfrac{t-3}2\right)^2\geqslant t,\]解得 $t$ 的取值范围是 $[9,+\infty)$．于是题中不等式即\[\forall t\geqslant 9,(t-3)x^2+2x+t-13\geqslant 0,\]也即\[\forall t\geqslant 9,\left(x^2+1\right)t+\left(-3x^2+2x-13\right)\geqslant 0,\]也即\[\left(x^2+1\right)\cdot 9+\left(-3x^2+2x-13\right)\geqslant 0,\]也即\[2\left(3x-2\right)\left(x+1\right)\geqslant 0,\]解得 $x$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\dfrac23,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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