设双曲线的两个焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 为双曲线上任意一点．求证：此双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $\angle F_1PF_2$．
【难度】
【出处】
2011年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证明 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线是双曲线的切线：
假设 $PQ$ 是 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线，点 $F_1$ 关于 $PQ$ 的对称点记为 $D$，如果角平分线与双曲线有另外一个交点 $P'$，作辅助线如图：
由双曲线的定理知$$PF_1-PF_2=P'F_1-P'F_2=2a,$$又因为 $PQ$ 为 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线，所以$$PF_1=PD,P'F_1=P'D,$$从而有$$PD-PF_2=F_2D=P'D-P'F_2,$$从而有 $P',F_2,D$ 三点共线，所以点 $P'$ 与 $P$ 重合，即直线 $PQ$ 与双曲线有且仅有一个公共点，所以 $PQ$ 为双曲线的切线（$P'$ 在双曲线另一支上，推理相同）．
假设 $PQ$ 是 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线，点 $F_1$ 关于 $PQ$ 的对称点记为 $D$，如果角平分线与双曲线有另外一个交点 $P'$，作辅助线如图：
由双曲线的定理知$$PF_1-PF_2=P'F_1-P'F_2=2a,$$又因为 $PQ$ 为 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线，所以$$PF_1=PD,P'F_1=P'D,$$从而有$$PD-PF_2=F_2D=P'D-P'F_2,$$从而有 $P',F_2,D$ 三点共线，所以点 $P'$ 与 $P$ 重合，即直线 $PQ$ 与双曲线有且仅有一个公共点，所以 $PQ$ 为双曲线的切线（$P'$ 在双曲线另一支上，推理相同）．
答案
解析
备注
