平行四边形两边长分别为 $3$ 和 $5$，一条对角线长为 $6$，求另一条对角线的长度．
【难度】
【出处】
2011年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$ 4\sqrt 2 $
【解析】
设平行四边形两邻边对应的向量分别为 $\overrightarrow a $ 和 $\overrightarrow b $，则两对角线对应的向量分别为 $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow a - \overrightarrow b $．而\[\begin{split}&{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} \\&= \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \\&= 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2},\end{split}\]所以另外一条对角线的长度为 $\sqrt {2\left( {{3^2} + {5^2}} \right) - {6^2}} = 4\sqrt 2 $．
答案
解析
备注
