在 $\triangle ABC$ 中，如果 $a + b \geqslant 2c$，求证：$C \leqslant \dfrac{{{\pi }}}{3}$．
【难度】
【出处】
2011年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $a + b \geqslant 2c$，所以由正弦定理可得$$\sin A + \sin B \geqslant 2\sin C.$$故$$2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} \geqslant 4\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2},$$因为 $\dfrac{C}{2} \in \left( {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，所以 $\sin \dfrac{{A + B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2} > 0$，所以$$\cos \dfrac{{A - B}}{2} \geqslant 2\sin \frac{C}{2}.$$因此$$ \sin \dfrac{C}{2} \leqslant \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} \leqslant \dfrac{1}{2},$$因为 $\dfrac{C}{2} \in \left( {0 , \dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，故解得 $ \dfrac{C}{2} \leqslant \dfrac{{{\pi }}}{6}$，于是 $C \leqslant \dfrac{{{\pi }}}{3}$．
答案
解析
备注
