已知函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上均有意义，且 $A,B$ 是其图象上横坐标分别为 $a,b$ 的两点．对应于区间 $[0,1]$ 内的实数 $\lambda$，取函数 $y=f(x)$ 的图象上横坐标为 $x=\lambda a+(1-\lambda)b$ 的点 $M$，和坐标平面上满足 $\overrightarrow {MN}=\lambda \overrightarrow{MA}+(1-\lambda)\overrightarrow {MB}$ 的点 $N$，得 $\overrightarrow {MN}$．对于实数 $k$，如果不等式 $|MN|\leqslant k$ 对 $\lambda \in [0,1]$ 恒成立，那么就称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上“$k$ 阶线性近似”．若函数 $y=x^2+x$ 在 $[1,2]$ 上“$k$ 阶线性近似”，则实数 $k$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
注意到 $M,N$ 的横坐标相同，且点 $M$ 在函数 $y=f(x)$（$x \in [a,b]$）的图象上，点 $N$ 在线段 $AB$ 上，当函数 $y=x^2+x$ 在 $[1,2]$ 上“$k$ 阶线性近似”时，线段 $AB$ 为 $y=4x-2$（$x \in [1,2]$），令$$g(x)=4x-2-(x^2+x)=-\left(x-\dfrac 32\right)^2+\dfrac 14, x\in [1,2],$$则得到 $|g(x)|$ 的最大值为$$g\left(\dfrac 32\right)=\dfrac 14.$$故$$ \dfrac 14\leqslant k.$$所以实数 $k$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 14,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
