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抛物线上有两点 $A,B$，它们连线的中点为 $K$，$A$ 处与 $B$ 处的切线交于 $C$．求证：$C$ 和 $K$ 连线的中点在抛物线上．
【难度】
【出处】
2011年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的性质证明问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    切线方程
【答案】
略
【解析】
不妨设抛物线方程为 $y^2=2px$，点 $C$ 为 $(x_0,y_0)$，则直线 $AB$ 的方程为$$y_0y=p(x+x_0),$$联立直线与抛物线方程可得$$px^2+(2px_0-2y_0^2)x+px_0^2=0,$$于是由韦达定理得线段 $AB$ 的中点坐标为 $K\left(-x_0+\dfrac{y_0^2}{p},y_0\right)$，因此 $C$ 与 $K$ 连线的中点在抛物线上．
答案 解析 备注
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