曲线 ${y^2} = 2px$（$p > 0$）与圆 ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 3$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点在 $y = x$ 上，求 $p$．
【难度】
【出处】
2008年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{7 - \sqrt {17} }}{4}$
【解析】
设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$、$B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，线段 $AB$ 的中点 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，联立曲线 ${y^2} = 2px$ 与圆 ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 3$，有$${\left( {x - 2} \right)^2} + 2px - 3 = 0,$$即$${x^2} + \left( {2p - 4} \right)x + 1 = 0,$$所以判别式$$\Delta =4(p-2)^2-4>0\Rightarrow p>3\lor p<1$$且有$${x_1} + {x_2} = 4 - 2p,{x_1}{x_2} = 1,$$所以$${x_0} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 2 - p,$$而\[\begin{split}y_0^2 &= {\left( {\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)^2}\\& = \dfrac{{2p\left( {{x_1} + {x_2} \pm 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{4} \\&= \dfrac{{2p\left( {4 - 2p \pm 2} \right)}}{4}\\ &=p(2\pm 1-p).\end{split}\]于是\[p(2\pm 1-p)=(2-p)^2,\]解得 $p = \dfrac{{7 - \sqrt {17} }}{4}$．
答案
解析
备注
