：设 $p$ 为素数，则对任意一个与 $p$ 互素的整数 $a$，有$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
方法一：
因为 $p$ 为素数，所以 $\mathbb Z_p^*$ 关于剩余类的乘法构成群，且 $\mathbb Z_p^*$ 的阶等于 $p-1$．又因为 $a$ 与 $p$ 互素，所以 $a$ 所在的剩余类 $[a]\in \mathbb Z_p^*$，由拉格朗日定理可知，$$[a]^{p-1}=[1],$$即$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$方法二：
因为 $p$ 为素数，所以 $1,2,\cdots,p-1$ 是模 $p$ 的一个缩系．
因为 $a$ 与 $p$ 互素，所以 $a,2a,\cdots,(p-1)a$ 也是模 $p$ 的一个缩系．
故$$(p-1)!\equiv a^{p-1}\cdot (p-1)! \pmod p.$$因为 $(p-1)!$ 与 $p$ 互素，所以$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$
因为 $p$ 为素数，所以 $\mathbb Z_p^*$ 关于剩余类的乘法构成群，且 $\mathbb Z_p^*$ 的阶等于 $p-1$．又因为 $a$ 与 $p$ 互素，所以 $a$ 所在的剩余类 $[a]\in \mathbb Z_p^*$，由拉格朗日定理可知，$$[a]^{p-1}=[1],$$即$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$方法二：
因为 $p$ 为素数，所以 $1,2,\cdots,p-1$ 是模 $p$ 的一个缩系．
因为 $a$ 与 $p$ 互素，所以 $a,2a,\cdots,(p-1)a$ 也是模 $p$ 的一个缩系．
故$$(p-1)!\equiv a^{p-1}\cdot (p-1)! \pmod p.$$因为 $(p-1)!$ 与 $p$ 互素，所以$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$
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