设复数 $z=\cos\theta+{\rm i}\sin \theta$（$\theta\in [0,\pi]$），复数 $z,(1+{\rm i})z,2\overline z$ 在复平面上对应的三个点分别是 $P,Q,R$，以线段 $PQ,PR$ 为两边的平行四边形的第四个顶点为 $S$，则 $S$ 到原点的距离可能为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
z&=\cos\theta+{\rm i}\sin\theta,\\
(1+{\rm i})z&=\cos\theta-\sin\theta+{\rm i}(\cos\theta+\sin\theta),\\
2\overline z&=2\cos\theta-{\rm i}\cdot 2\sin\theta,
\end{split}\]于是 $S$ 点对应的复数为\[2\cos\theta-\sin\theta+{\rm i}(\cos\theta-2\sin\theta),\]于是 $S$ 到原点距离\[d=\sqrt{(2\cos\theta-\sin\theta)^2+(\cos\theta-2\sin\theta)^2}=\sqrt{5-4\sin 2\theta},\]其取值范围是 $[1,3]$．
z&=\cos\theta+{\rm i}\sin\theta,\\
(1+{\rm i})z&=\cos\theta-\sin\theta+{\rm i}(\cos\theta+\sin\theta),\\
2\overline z&=2\cos\theta-{\rm i}\cdot 2\sin\theta,
\end{split}\]于是 $S$ 点对应的复数为\[2\cos\theta-\sin\theta+{\rm i}(\cos\theta-2\sin\theta),\]于是 $S$ 到原点距离\[d=\sqrt{(2\cos\theta-\sin\theta)^2+(\cos\theta-2\sin\theta)^2}=\sqrt{5-4\sin 2\theta},\]其取值范围是 $[1,3]$．
题目
答案
解析
备注
